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知識點總結

一、軸對稱與軸對稱圖形：

1.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做對稱點，對應線段叫做對稱線段。

2.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

注意：對稱軸是直線而不是線段

3.軸對稱的性質：

(1)關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

(2)如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線;

(3)兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上;

(4)如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。

4.線段垂直平分線：

(1)定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。

(2)性質：①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;

②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

注意：根據線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

5.角的平分線：

(1)定義：把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.

(2)性質：①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

②到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

注意：根據角平分線的性質，三角形的三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

6.等腰三角形的性質與判定：

性質：

(1)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;

(2)三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;

(3)等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等。

說明：等腰三角形的性質除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;

③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。

判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱：等角對等邊)。

7.等邊三角形的性質與判定：

性質：(1)等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°;

(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，并且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對稱軸。

判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線、三條角平分線)都相等。

二、中心對稱與中心對稱圖形：

1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠和另外一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。

2.中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

3.中心對稱的性質：(1)關于中心對稱的兩個圖形是全等形;

(2)在成中心對稱的兩個圖形中,連接對稱點的線段都經過對稱中心,并且被對稱中心平分;

(3)成中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或在同一直線上)且相等。

三、軸對稱與中心對稱的區別與聯系：

四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形：

軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓

對稱軸的條數：角有一條對稱軸，即該角的角平分線;等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線;等邊三角形有三條對稱軸，分別是三邊上的垂直平分線;菱形有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線;

中心對稱圖形：線段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓

對稱中心：線段的對稱中心是線段的中點;平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是圓心。

說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

五、坐標系中的軸對稱變換與中心對稱變換：

點P(x,y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x,-y)，關于y軸對稱的點P2的坐標為(-x,y)。關于原點對稱的點的坐標P3的坐標是(-x,-y)這個規律也可以記為：關于y軸(x軸)對稱的點的縱坐標(橫坐標)相同，橫坐標(縱坐標)互為相反數。 關于原點成中心對稱的點的，橫坐標為原橫坐標的相反數，縱坐標為原縱坐標的相反數，即橫坐標、縱坐標同乘以-1。

常見考法

(1)判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸，對稱軸的條數、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心;(2)利用垂直平分線性質、角平分線性質證明一些結論;(3)利用等腰三角形三線合一性質證明線段相等、線段垂直;(4)直接證明某一個三角形是等腰三角形;(4)軸對稱圖形的實際應用(如鏡子中的軸對稱問題、解決一些折疊問題、還有求幾個線段之和最短問題)。

誤區提醒

(1)把軸對稱與軸對稱圖形的概念、中心對稱與中心對稱圖形的概念混淆;(2)把軸對稱與全等混淆;(3)找軸對稱圖形的對稱軸不全、不準;(4)在解有關等腰三角形問題時，沒有進行分類討論，造成漏解。