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科目代碼：892

科目名稱：高等代數

一、考試的總體要求

主要考核考生對《高等代數》課程的基本理論體系和知識結構的掌握情況及熟練程度，掌握高等代數的基本理論和方法。要求考生具有一定的抽象思維和邏輯推理能力，以及綜合運用各種知識解決問題的能力，要求考生概念清楚，對定理理解準確，扎實掌握，還要求有較強的計算能力，對高等代數的方法能靈活應用。

二、考試的內容

第一部分 多項式

1. 掌握數域概念，一元多項式運算法則;

2. 掌握帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉相除法);

3. 掌握不可約多項式概念和因式分解唯一性定理;

4. 掌握重因式、余數定理，零點(根)定理;

5. 掌握復/實系數多項式的因式分解定理;

6. 了解整系數多項式的艾森斯坦(Eisenstein)判別法。

第二部分 行列式

1. 掌握排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及判定;

2. 掌握行列式的定義，行列式的性質，行列式的各種計算方法;

3. 掌握范德蒙德(Vandermonde)行列式;

4. 掌握矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區別;

5. 掌握克拉默(Cramer)法則，齊次線性方程有非零解的條件。

第三部分 線性方程組

1. 掌握線性方程組的高斯(Gauss)消元法;

2. 掌握向量空間、線性相關、線性無關的概念;

3. 掌握矩陣秩的定義及求法，向量組的極大線性無關組的求法;

4. 掌握線性方程組有解的判定：線性方程組無解，有唯一解及有無窮多組解的判定;

5. 掌握線性方程組解的結構。

第四部分 矩陣

1. 掌握矩陣基本運算，掌握矩陣乘積的行列式;

2. 掌握矩陣的逆的定義及求法，分塊矩陣的概念;

3. 理解初等矩陣的意義及性質;

4. 掌握分塊矩陣的應用。

第五部分 二次型

1. 掌握二次型的矩陣表示，利用合同變換化二次型為標準形;

2. 掌握復二次型的規范形及實二次型的慣性定理;

3. 熟練掌握二次型的規范形/標準形及正/負定二次型的相關定理。

第六部分 線性空間

1. 了解線性(向量)空間的定義及簡單性質;

2. 掌握維數、基底、坐標的概念;

3. 掌握基變換與坐標變換公式，子空間的幾何意義，若干子空間的舉例;

4.掌握子空間的交與和，子空間的直和。

第七部分 線性變換

1. 掌握線性變換的概念、運算，了解一些線性變換的背景和具體例子;

2. 掌握線性變換與矩陣的關系，同一線性變換在兩組不同基下所對應的矩陣之間的關系;

3. 掌握特征值、特征向量以及特征空間的概念，會求特征值，特征向量， 掌握特征多項式的性質，特別是哈密頓-凱萊(Hamilton-Cayley)定理;

4.掌握對角矩陣的定義及求法，線性變換的值域與核的概念及性質;

5.掌握不變子空間的概念及性質;

6.了解任意矩陣在復數域上都可相似于若爾當(Jordan) 標準形。

第八部分 歐幾里得空間

1. 掌握Euclid空間的概念與基本性質;

2. 掌握標準正交基與同構的概念，掌握施密特(Schimidt) 正交化過程;

3. 掌握若干正交變換的等價定義，知道子空間與正交補及其簡單的性質;

4.掌握如何用正交矩陣化實對稱矩陣為對角形;

5.掌握最小二乘法。

三、考試的題型

填空題，計算題，證明題。