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考試科目： 量子力學

科目代碼： 623

一、參考書目：周世勛，《量子力學教程》(第二版)，高等教育出版社，2009年

二、考試內容范圍：

(一) 波函數和薛定諤方程

1、 微觀粒子波粒二象性，德布羅意關系式。

2、 波函數及波函數統計解釋，波函數標準條件與歸一化，自由粒子波函數箱歸一化。

3、 態迭加原理。

4、 幾率流密度和粒子數守恒定律。

5、 薛定諤方程，定態薛定諤方程，定態波函數特點與形式，哈密頓量不顯含t體系波函數的時間演化。

6、 一維勢問題的定態薛定諤方程求解，包括方勢阱、勢壘貫穿、一維線性諧振子勢等。

(二) 力學量與算符

1、量子力學關于力學量基本假設

①量子力學中力學量是用厄米算符表示。

②厄米算符本征函數是正交，完備的。

③在狀態 中，測量某一力學量F，測到的值只能是此力學量對應的厄米算符 的本征值譜中一個;測到力學量F為某本征值的幾率，與狀態 用厄米算符 的本征函數展開式中與該本片值對應的本征函數前的系數模平方成正比。

2、算符與力學量的關系、力學量算符的對易關系及物理含義

3、有關算符對易的定理：幾個算符對易，則有共同的、完備的本征函數，逆定理成立。

4、厄米算符，泊松括號，算符對易，常用幾個對易關系：

① ;② ;③ ;④ ;

⑤ =0;⑥ ;⑦ ;

⑧ 二二對易，其中 為氫原子的哈密頓算符。

5、庫侖場的特點及電子在庫侖場中的運動、氫原子問題與其定態薛定諤方程求解。

6、厄米算符的本征方程與求解。常用幾個算符：常用哈密頓算符 (一維無限深勢阱、一維諧振子、氫原子、剛體轉動)的本征函數與本征值。力學量平均值求法。

7、一般測不準關系式： 時，則 。位置與動量的測不準關系;能量與時間的測不準關系。

(三) 態和力學量表象

1、態的表象，表象基矢，自身表象，三個基本表象，坐標表象、動量表象、能量表象。

2、算符和量子力學公式的矩陣表示，矩陣本征方程求解。

3、不同表象間變換，么正變換，么正變換的性質

① 二個表象基矢之間的變換，么正變換矩陣S。

② 同一態矢在二個表象的不同表示之間的變換。

③ 同一算符在二個表象的不同矩陣之間的變換。

4、狄喇克符號的使用。

5.了解一維諧振子占有數表象與產生a+、消滅算符a以及有關的公式。

(四)力學量隨時間的演化與對稱性

1、力學量隨時間的演化，守恒量。

2、二個定理：位力定理，Ehrenfest定理。

(五)近似方法

1、微擾理論

① 非簡并微擾下，能級的一級修正、二級修正的公式，波函數的一級修正公式。

② 簡并微擾下，能級的一級修正求法，波函數O級的求法。

③ 含時微擾下躍遷幾率一般公式，在偶極近似下，躍遷幾率求法。

2、愛因斯坦關于光發射與吸收的理論，三個系數：自發發射系數，受激發射系數，吸收系數。在偶極近似下，三個系數與躍遷幾率關系。

3、變分法一般原理，里茲(Ritz)變分法。

(六) 自旋與全同粒子

1、電子自旋角動量、自旋磁矩假設。

2、電子自旋算符 、泡利算符 ，它們各自對易關系。

3、在 ， 表象下：

① ， 共同本征函數及對應本征值;

② ， ， 與 ， ， 的矩陣表示，它們對應的本征方程求解。

③ 含自旋的算符形式 。

4、電子一般自旋波函數，電子含自旋的總的波函數。

5、電子一般自旋波函數的正交歸一;電子含自旋的總波函數的正交歸一;含自旋算符的平均值求法。

6、二個角動量耦合： ① 與 ， 對易關系

② ， ， ， 的共同本征函數，無耦合表象基矢 ，

， ， ， 的共同本征函數，耦合表象基矢

無耦合表象與耦合表象基矢之間關系，C-G系數

7、全同粒子，

① 全同性原理;全同粒子波函數特點——具有交換對稱性。

② 忽略粒子間相互作用，如何用單粒子態 來組成全同粒子體系的波函數。

③ 忽略空間與自旋間相互作用，如何用空間與自旋波函數組成全同粒子總波函數。

④ 兩個電子的自旋函數，三重態，單重態。

三、試卷結構及題型比例：

有判斷題、填空題、證明題、計算題、問答題等，共150分，考試時間3小時。