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高等代數考試大綱

Ⅰ 考查目標

高等代數課程是一門基礎理論課.近年來，由于自然科學，社會科學和工程技術的迅速發展，特別是由于電子計算機的普遍應用，使得代數學得到日益廣泛的應用.這就要求數學專業的本科學生不僅了解代數學的一些計算問題，還應具備代數學的基礎理論知識，以便融會貫通的運用代數學的工具去解決理論上和實踐上遇到的各種問題.

本課程包括一元多項式理論，線性代數，其中以線性代數為主，具有很強的抽象性與邏輯性.本課程的考查注重學生科學的思維方式，分析問題和解決問題的能力;同時滲透現代數學的觀點和的思想.通過本課程的考查，能體現“學生掌握多項式理論的基本概念，線性方程組的基本理論，矩陣的基本運算和技巧，線性空間與歐幾里得空間的基本性質，線性變換的基本概念和方法”的基本情況.考查學生的抽象思維能力，解決實際問題的方法，從而為學生的研究生階段的學習打下必要的代數學基礎.

難度以應屆本科優秀學生能取得及格以上成績為基準.

Ⅱ　考試形式和試卷結構

1填空題約占30%

2計算題約占40%

3證明題約占30%.可以根據需要將證明題分為基本證明題和綜合證明題兩大部分.

4、試卷總分150分.

Ⅲ　考查范圍

第一部分 多項式

一 多項式代數與多項式函數

二 最大公因式和互質(與數域擴充無關的性質)

三 因式分解(與數域擴充有關的性質)及應用

第二部分 行列式

一 行列式的定義、性質及應用

二 行列式的計算

第三部分 矩陣初步

一 矩陣代數

二 矩陣的初等變換及應用

三 方塊矩陣的初等變換及應用

第四部分 線性空間

一 線性空間的定義

二 向量的線性關系

三 子空間與空間直和分解

第五部分 線性變換

一 線性映射

二 線性變換

三 同構對應及應用

第六部分 線性方程組

一 齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

二 非齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

三 線性方程組的反問題和矩陣方程

第七部分 矩陣的秩

一 矩陣的秩的等價刻劃

二 關于矩陣秩的命題及應用

第八部分 線性空間同構

一 線性空間的同構

二 三種重要的同構

三 命題的互相轉化及應用

第九部分 特征值與特征向量

一 矩陣的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式

二 線性變換的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式

三 可對角化的矩陣(線性變換)

第十部分 空間分解定理和Jordan標準形

一 空間分解定理

二 Jordan標準形

三 Jordan標準形的求法

四 Jordan標準形應用舉例

第十一部分 歐氏空間

一 歐氏空間的正交向量

二 歐氏空間的子空間的正交補

三 n維歐氏空間的線性變換

第十二部分 二次型

一 二次型(對稱陣)的標準形

二 正定二次型(對稱陣)與二次型(對稱陣)的正定性

第十三部分 等價關系與矩陣標準型

一 等價關系與分類

二 矩陣中的幾種等價關系與矩陣標準型

Ⅳ 參考書

(1)張禾瑞、郝炳新編.高等代數(第五版).高等教育出版社，2008年.

(2)北京大學數學系編. 高等代數(第3版).高等教育出版社，1988年.

(3)邱維聲編.高等代數.高等教育出版社，2002年.